Neste espaço iremos desafiar a sua sabedoria e a sua inteligência.

Ao longo do tempo serão sucessivamente colocados desafios que o obrigarão a aplicar-se se quiser chegar à sua solução.

Acha que consegue resolver algum dos desafios já propostos? Dê uma volta pela nossa biblioteca de desafios e experimente.

Boa sorte!

quinta-feira, 12 de julho de 2007

A moeda falsa


Num conjunto de doze moedas existe uma com um peso diferente.







Como é possível, fazendo apenas três pesagens numa balança de braços iguais e sem utilizar qualquer peso, verificar se existe ou não uma moeda de peso diferente.



Se sabe a resposta deste desafio introduza o seu comentário. Boa sorte!



18 comentários:

tatiana disse...

se ouver duas moedas iguais e uma diferente 'e possivel

carla silva disse...

coloca-se seis moedas em cada prato da balança,no prato k estiver mais baixo está a moeda mais pesada,depois é so pesar essa três em pares(ou sejs uma de cada lado para vermos qual a mais pesada,se por acaso em vez de uma moeda de peso inferior às outras,pesa-se as moedas cujo prato ficou mais a cima

Mestre Luis disse...

Olá Tatiana!

Não te esqueças que são 12 moedas que tem.

Boa sorte para a próxima tentativa!

Mestre Luis disse...

Olá Carla!

O seu raciocinio está correcto mas veja uma coisa, assim é necessário pesar 4 vezes para descobrir a moeda.

O desafio consiste em descobrir a moeda que pesa mais ou menos em apenas 3 pesagens.

Só falta um bocadinho assim.

Boa sorte para a próxima tentativa!

carla silva disse...

coloca-se 6 moedas em cada um dos pratos,logo o prato que ficar mais a cima tem uma moeda com o peso menor(ou seja a moeda falsa),depois coloca-se 3 moedas em cada prato,se um dos pratos ficar mais a cima confirma-se a existência de 1 moeda falsa,se o balança ficar "alinhada" então pesa-se o outro conjunto de seis moedas três em cada lado, e se os pratos ficarm um mais a cima do outro confirma-se a existência de uma moeda falsa com apenas três pesagens

Mestre Luis disse...

Olá Carla,

Está cada vez mais quase, falta ultrapassar um pequeno pormenor, veja:

A Carla disse que:

"Coloca-se 6 moedas em cada um dos pratos,logo o prato que ficar mais a cima tem uma moeda com o peso menor(ou seja a moeda falsa),..." - Ou seja 1a pesagem.

"depois coloca-se 3 moedas em cada prato,se um dos pratos ficar mais a cima confirma-se a existência de 1 moeda falsa,..." - 2a pesagem.

"se o balança ficar "alinhada" então pesa-se o outro conjunto de seis moedas três em cada lado, e se os pratos ficarm um mais a cima do outro confirma-se a existência de uma moeda falsa com apenas três pesagens" - 3a pesagem

Concordo com tudo isto mas a unica certeza que fica é que a moeda está naquele grupo de três moedas, não se sabe dizer qual.

Para saber qual, pelo menos seria necessário mais uma pesagem e assim o número de pesagens seria 4 e não 3.

Como pode ver está quase mas só falta um "danoninho".

Boa sorte para o passo final.

carla silva disse...

coloca-se 6 moedas em cada prato,o prato que ficar mais a cima tem a moeda falsa(supostamente sendo falsa é mais leve),depois divide-se 3 moedas em cada prato,mais uma vez o prato que tiver a moeda em cima tem a moeda falsa,depois é só pesar aos pares 1 em cada prato para descobrir a moeda falsa.axo que ainda não foi desta :( pesar ingredienters para bolos é bem mais fácil ;)

Papillon disse...

J.Colllins diz que os nossos erros são porque agimos e não pensamos. Penso que os sentimentos tambem tem o seu peso na nossa vida. senão criavamos robots que não pensam.

Anónimo disse...

Coloca-se seis moedas de cada lado da balança, o lado que contiver a moeda falsa subirá por ser mais leve(1ª pesagem). Desse grupo de moedas (mais leve)coloca-se três em cada lado da balança e novamente o grupo que tem a moeda falsa subirá(2ª pesagem). Dessas tres moedas, coloca-se uma em cada prato da balança. Se equilibrar, a moeda falsa é a que está fora. Se desequilibrar, o prato que subir está mais leve portanto essa é a moeda falsa(3ª pesagem)

Mestre Luis disse...

Parabéns!

Sem dúvida que o raciocionio deste desafio é este.

(Apenas um pequeno comentário: Como sabe que a moeda falsa é mais leve?)

Foi um prazer ter a sua contribuição na resolução dum problema já com algum tempo.

Gostaria de o colocar no quadro de classificações mas não sei o seu nome/alcunha.

Se quiser indicar como gostaria de ser chamado/a terei depois muito gosto em faze-lo.

Por falta de tempo não tenho conseguido actualizar este forúm. Vá aparecendo que um dia destes terá outro desafio à sua espera.

Muito obrigado.

Levi Agreste disse...

Mestre Luis,
gostaria apenas de constatar que a resposta que foi considerada correta está errada.

não se sabe se a moeda é mais LEVE, ou mais PESADA, mas apenas que tem um peso DIFERENTE. então, não pode-se concluir em uma balança desequilibrada de que lado está a moeda falsa. pois ao mesmo tempo que ela possa estar no lado que subiu (sendo mais leve que as outras), também pode estar no lado que desceu (sendo mais pesada).

Pelo menos AO MEU VER, a resposta está errada. pode ser que eu esteja errado também, mas isso vc decidirá:

coloca-se 3 moedas em cada lado da balança. se houver equilibrio, quer dizer que a falsa está no grupo de 6 moedas que não foram utilizadas na primeira pesagem. se a balança estiver desequilibrada, constata-se que a falsa está no grupo de 6 moedas utilizadas, mas não se sabe de que lado. -1a pesagem

coloca-se 3 moedas do grupo das quais se constatou a presença da moeda falsa de um lado da balança, e outras 3 moedas que se tem certeza que são verdadeiras (através do resultado da primeira pesagem) do outro lado da balança. se houver desequilibrio, a falsa encontra-se naquele grupo de 3 moedas primeiramente citadas e também se descobre se a moeda é mais LEVE ou PESADA. se houver equilibrio, a falsa encontra-se no grupo de 3 moedas que não forma utilizadas na 2a pesagem (mas que constatou-se na primeira pesagem que a falsa PODERIA estar entre elas) - 2a pesagem

pega-se entao, 2 moedas das 3 restantes e coloca-se uma de cada lado da balança. se houver equilibrio, a falsa é a que foi omitida na 3a pesagem, mas se houver desequilibrio, saberemos por causa do resultado da 2a pesagem, se a falsa é mais leve ou pesada que as demais, e conclui-se o resultado!

não tenho certeza se está certo, mas foi o melhor que pude fazer.

Aquino disse...

Oi, Levi. Este desafio é realmente muito bom, mas sua resposta ainda não foi satisfatória. Se a moeda falsa não foi incluída na primeira pesagem e nem na segunda pesagem, ela estará entre as três últimas moedas, e não temos como descobrir a falsa com apenas mais uma pesagem.

A solução é bem mais elaborada, e difícil de se apresentar de forma simples. Vou apresentar o início do raciocínio, e daí quem quiser pode procurar desenvolver o final.

1) Rotulamos as moedas de A até L.
2) Comparamos dois grupos de 4 moedas(ABCD e EFGH).
3) Se houver equilíbrio, utilizo três moedas do grupo restante com uma verdadeira pra servir de guia (AI e JK). Verifique que isso lhe trará a resposta na terceira pesagem.
4) Se não houver equilíbrio no passo 2, junte duas moedas do primeiro prato com uma do segundo prato, e compare com o conjunto de uma moeda do primeiro prato com uma moeda do segundo prato e mais uma verdadeira (ABE com CFI). Parece louco, mas isso te permitirá obter a resposta na terceira pesagem.

Se alguém se interessar pela resposta, email-me: marcelo.aquino@gmail.com

Saudações
Marcelo Aquino

Mestre Luis disse...

Caros Levi Agreste e Marcelo Aquino,


Em primeiro lugar gostaria de vos pedir desculpa pela demora da minha resposta aos vossos comentários.

Isso deve-se à vida ocupada que tenho tido, que não me tem permitido dedicar tempo ao blog como gostaria.

O meu muito obrigado pelos vossos comentários! Foram geniais!

No entanto gostaria de acrescentar os seguintes comentários, pois existem alguns aspectos importantes a ter em conta:



Levi,

"não se sabe se a moeda é mais LEVE, ou mais PESADA, mas apenas que tem um peso DIFERENTE. então, não pode-se concluir em uma balança desequilibrada de que lado está a moeda falsa. pois ao mesmo tempo que ela possa estar no lado que subiu (sendo mais leve que as outras), também pode estar no lado que desceu (sendo mais pesada)."

Comentário: Concordo com a sua observação, com uma pesagem é impossivel descobrir num grupo de 12 ou 6 moedas qual a moeda diferente.


Coloca-se 3 moedas em cada lado da balança. se houver equilibrio, quer dizer que a falsa está no grupo de 6 moedas que não foram utilizadas na primeira pesagem. se a balança estiver desequilibrada, constata-se que a falsa está no grupo de 6 moedas utilizadas, mas não se sabe de que lado. -1a pesagem

Comentário: Concordo inteiramente com a sua observação.

Coloca-se 3 moedas do grupo das quais se constatou a presença da moeda falsa de um lado da balança, e outras 3 moedas que se tem certeza que são verdadeiras (através do resultado da primeira pesagem) do outro lado da balança. se houver desequilibrio, a falsa encontra-se naquele grupo de 3 moedas primeiramente citadas e também se descobre se a moeda é mais LEVE ou PESADA. se houver equilibrio, a falsa encontra-se no grupo de 3 moedas que não forma utilizadas na 2a pesagem (mas que constatou-se na primeira pesagem que a falsa PODERIA estar entre elas) - 2a pesagem

Comentário: Neste caso conforme indicou duas situações poderão acontecer:

i) Há desiquilibrio, porque a moeda falsa está no grupo de 3 moedas tiradas do conjunto de 6 que tem a moeda falsa. Nesta situação estou de acordo com o resto do seu método e consegue-se com mais uma pesagem descobrir a moeda falsa.

ii) Há equilibrio, porque a moeda falsa não está no grupo de 3 moedas tiradas do conjunto de 6 que tem a moeda falsa. Neste caso não teremos a possibilidade de saber se a moeda falsa que está no grupo das restantes 3, é mais leve ou mais pesada. Isto foi o que Marcelino descobriu e indicou.

pega-se entao, 2 moedas das 3 restantes e coloca-se uma de cada lado da balança. se houver equilibrio, a falsa é a que foi omitida na 3a pesagem, mas se houver desequilibrio, saberemos por causa do resultado da 2a pesagem, se a falsa é mais leve ou pesada que as demais, e conclui-se o resultado!

Comentário: Se não conseguir na 2a pesagem descobrir se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada nesta última pesagem não saberá descobri-la no caso de haver desiquilibrio.

Marcelo,


Oi, Levi. Este desafio é realmente muito bom, mas sua resposta ainda não foi satisfatória. Se a moeda falsa não foi incluída na primeira pesagem e nem na segunda pesagem, ela estará entre as três últimas moedas, e não temos como descobrir a falsa com apenas mais uma pesagem.

Comentário: Concordo inteiramente com a sua observação.

A solução é bem mais elaborada, e difícil de se apresentar de forma simples. Vou apresentar o início do raciocínio, e daí quem quiser pode procurar desenvolver o final.

1) Rotulamos as moedas de A até L.
2) Comparamos dois grupos de 4 moedas(ABCD e EFGH).
3) Se houver equilíbrio, utilizo três moedas do grupo restante com uma verdadeira pra servir de guia (AI e JK). Verifique que isso lhe trará a resposta na terceira pesagem.

Comentário: Nesta 2a pesagem existiriam duas possibilidades:

iii) Há equilibrio. Isso significaria que a moeda falsa seria a L.

iv) Há desiquilibrio. A moeda falsa seria a I ou a J ou a K.
Neste ponto ainda não saberia se a moeda falsa é mais leve ou pesada.
Se na 3a pesagem houver desiquilibrio, necessitará de mais uma pesagem para descobrir qual a moeda falsa. Ficará na mesma situação do Levi.

4) Se não houver equilíbrio no passo 2, junte duas moedas do primeiro prato com uma do segundo prato, e compare com o conjunto de uma moeda do primeiro prato com uma moeda do segundo prato e mais uma verdadeira (ABE com CFI). Parece louco, mas isso te permitirá obter a resposta na terceira pesagem.

Comentário: Daqui poderia resultar:

Comentário: Nesta 2a pesagem existiriam duas possibilidades:

v) Há equilibrio. A moeda falsa seria a D ou a G ou a H.
Neste ponto ainda não saberia se a moeda falsa é mais leve ou pesada.
Se na 3a pesagem houver desiquilibrio, necessitará de mais uma pesagem para descobrir qual a moeda falsa. Ficará na mesma situação do Levi.


vi) Há desiquilibrio. A moeda falsa seria a A ou a B ou a E ou a C ou a F ou a I.
Iria necessitar de mais de uma pesagem para descobrir qual a moeda falsa.


Apesar de não ser infalivel, o Levi encontrou um método que poderia encontrar a moeda e 3 pesagens caso a moeda falsa aparecesse na 2a pesagem.

O Marcelo verificou o "calcanhar de Aquiles" do método proposto pelo Levi.
O método que propôs permitiria encontrar a moeda falsa em 2 pesagens se a mesma não aparecesse nessas duas pesagens.


O enunciado original deste problema menciona se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada.
Dessa maneira o raciocionio apresentado pelo Levi é infalivel tal como o anteriormente apresentado pelo "anónimo".

Não o indiquei no enunciado e mais tarde lancei a questão para estimular o raciocinio e ver se alguém chegaria a alguma conclusão.


Os vossos comentários para além de serem brilhantes permitiram um bom debate e dar a conhecer a profundidade deste problema em termos de lógica e matemática.


No entanto este problema tem uma raiz histórica.

Antigamente as moedas eram feitas de um único material, o seu valor dependia desse material e do seu peso.

Nessa altura era importante para detectar eficazmente as moedas falsas, que eram mais leves.

A falsificação consistia em fazer moedas mais leves, pois se fossem mais pesadas seriam mais valiosas e não haveria interesse em falsificar.


Vou esforçar-me ainda mais para tentar ter este espaço do blog actualizado.


Obrigado a ambos pelos vossos geniais comentários,

Dois abraços e até uma próxima,

Luís Gaspar

Binho disse...

Caro Luiz,

A resposta do Marcelo era a correta.

Em (iv) (da sua análise)
Ao se pesar IJ x KA
Se tivermos equilíbrio, temos certeza que a diferente é a L e basta compará-la com qualquer outra na 3ª pesagem.
Caso contrário, o próximo passo é pesar I x J.
Caso IJ foi mais pesado na pesagem anterior, ou I ou J é a mais pesada ou K é a mais leve. Então, na terceira pesagem se deu equilíbrio, sabemos que K era a mais leve, caso contrário o lado mais pesado tem a moeda mais pesada.
Caso IJ for o mais leve, faz-se o raciocínio inverso.

Em (v) (da sua análise)
Para simplificar vamos supor que o lado ABCD é o mais pesado (caso contrário basta inverter minhas palavras pesado por leve).
Se houve equilíbrio, sabemos que ou D é mais pesada ou G ou H é a mais leve.
Pesa-se G x H.
Se houver desequilíbrio o lado mais leve possui a mais leve, caso contrário D é a mais pesada.

Em (vi)
Se ABE for mais pesado, ou A ou B é a mais pesada, ou F é a mais leve.
Pesando-se A x B descobriremos a mais pesada, ou F é a mais leve.
Se CFI for mais pesado, ou C é a pesada ou E é a mais leve.
Basta pesar C x A e se der equilíbrio E é a mais leve caso contrário, C é a mais pesada.

Sandro Barbosa disse...

12 moedas pelos 2 pratos = 6 (1º medição - Prato que provavelmente irá subir tem a moeda leve)
6 moedas [Das quais a "leve" está no meio] pelos 2 pratos = 3 (2º medição - Prato que provavelmente irá subir, está a moeda leve)
Agora, se pesa 1 moeda x 1 moeda, caso iguale, a moeda leve seria a que está fora. Caso, alguns dos lados subir é provavelmente a moeda leve. (3º medição)

Binho disse...

Sandro, e se a moeda falsa for mais pesada?

Pais e Mães organizadores disse...

- Este exercício é maravilhoso, e TEM solução sim utilizando-se a balança apenas 3 únicas vezes. O fato é que não sabemos quais das moedas é a diferente, e sua diferença (independente dos fatos históricos da época em que foi elaborado) pode mesmo de fato ser uma moeda mais leve ou mais pesada do que as demais. Portanto temos de fato 24 resposta possíveis que a solução tem que dar conta de encontrar nestas 3 utilizações da balança. Eu sei como resolver, se quiserem me contactar mviolato@gmail.com Prof. violato.

Pais e Mães organizadores disse...

- Este exercício é maravilhoso, e TEM solução sim utilizando-se a balança apenas 3 únicas vezes. O fato é que não sabemos quais das moedas é a diferente, e sua diferença (independente dos fatos históricos da época em que foi elaborado) pode mesmo de fato ser uma moeda mais leve ou mais pesada do que as demais. Portanto temos de fato 24 resposta possíveis que a solução tem que dar conta de encontrar nestas 3 utilizações da balança. Eu sei como resolver, se quiserem me contactar mviolato@gmail.com Prof. violato.